江蘇無錫市2019屆高三數(shù)學一模試題

江蘇省無錫市2019屆高三第一次模擬考試

數(shù) 學

注意事項：

1. 本試卷共160分，考試時間120分鐘．

2. 答題前，考生務必將自己的學校、班級、姓名寫在密封線內(nèi)．

一、 填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．

1. 設集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－2<x<1}，則A∩B＝________．

2. 設復數(shù)z滿足(1＋i)z＝1－3i(其中i是虛數(shù)單位)，則z的實部為________．

3. 有A，B，C三所學校，學生人數(shù)的比例為3∶4∶5，現(xiàn)用分層抽樣的方法招募n名志愿者，若在A學校恰好選出9名志愿者，那么n＝________．

 4. 史上常有賽馬論英雄的記載，田忌欲與齊王賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬．現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機各選一匹進行一場比賽，則田忌的馬獲勝的概率為________．

5. 執(zhí)行如圖所示的偽代碼，則輸出x的值為________．

6. 已知x，y滿足約束條件x－y＋1≥0，2x－y≤0，x≥0，則z＝x＋y的取值范圍是________．

7. 在四邊形ABCD中，已知AB→＝a＋2b，BC→＝－4a－b，CD→＝－5a－3b，其中a，b是不共線的向量，則四邊形ABCD的形狀是________．

8. 以雙曲線x25－y24＝1的右焦點為焦點的拋物線的標準方程是________．

9. 已知一個圓錐的軸截面是等邊三角形，側面積為6π，則該圓錐的體積等于________．

10. 設公差不為零的等差數(shù)列{an}滿足a3＝7，且a1－1，a2－1，a4－1成等比數(shù)列，則a10＝________．

11. 已知θ是第四象限角，則cos θ＝45，那么sinθ＋π4cos（2θ－6π）的值為________．

12. 已知直線y＝a(x＋2)(a>0)與函數(shù)y＝|cos x|的圖象恰有四個公共點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，其中x1<x2<x3<x4，則x4＋1tan x4＝________．

13. 已知點P在圓M：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1上，A，B為圓C：x2＋(y－4)2＝4上兩動點，且AB＝23，則PA→?PB→的最小值是________．

14. 在銳角三角形ABC中，已知2sin2A＋sin2B＝2sin2C，則1tan A＋1tan B＋1tan C的最小值為________．

二、 解答題：本大題共6小題，共90分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．

15. (本小題滿分14分)在△ABC中，設a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知向量m＝(a，sin C－sin B)，n＝(b＋c，sin A＋sin B)，且m∥n.

(1) 求角C的大��；

(2) 若c＝3，求△ABC周長的取值范圍．

16. (本小題滿分14分)在四棱錐PABCD中，銳角三角形PAD所在平面垂直于平面PAB，AB⊥AD，AB⊥BC.

(1) 求證：BC∥平面PAD；

(2) 求證：平面PAD⊥平面ABCD.

(第16題)

17. (本小題滿分14分)十九大提出對農(nóng)村要堅持精準扶貧，至2020年底全面脫貧．現(xiàn)有扶貧工作組到某山區(qū)貧困村實施脫貧工作，經(jīng)摸底排查，該村現(xiàn)有貧困農(nóng)戶100家，他們均從事水果種植，2017年底該村平均每戶年純收入為1萬元，扶貧工作組一方面請有關專家對水果進行品種改良，提高產(chǎn)量；另一方面，抽出部分農(nóng)戶從事水果包裝、銷售工作，其人數(shù)必須小于種植的人數(shù)．從2018年初開始，若該村抽出5x戶(x∈Z，1≤x≤9)從事水果包裝、銷售．經(jīng)測算，剩下從事水果種植農(nóng)戶的年純收入每戶平均比上一年提高x20，而從事包裝、銷售農(nóng)戶的年純收入每戶平均為3－14x萬元．(參考數(shù)據(jù)：1.13＝1.331，1.153≈1.521，1.23＝1.728)

(1) 至2020年底，為使從事水果種植農(nóng)戶能實現(xiàn)脫貧(每戶年均純收入不低于1萬6千元)，至少抽出多少戶從事包裝、銷售工作？

(2) 至2018年底，該村每戶年均純收入能否達到1.35萬元？若能，請求出從事包裝、銷售的戶數(shù)；若不能，請說明理由．

18. (本小題滿分16分)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的離心率為32，且過點3，12，點P在第四象限，A為左頂點，B為上頂點，PA交y軸于點C，PB交x軸于點D.

(1) 求橢圓C的標準方程；

(2) 求△PCD面積的最大值．

(第18題)

19. (本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x)＝ex－a2x2－ax(a>0)．

(1) 當a＝1時，求證：對于任意x>0，都有f(x)>0成立；

(2) 若y＝f(x)恰好在x＝x1和x＝x2兩處取得極值，求證：x1＋x22<ln a.

20. (本小題滿分16分)設等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0，q≠1)，前n項和為Sn，且2a1a3＝a4，數(shù)列{bn}的前n項和Tn滿足2Tn＝n(bn－1)，n∈N*，b2＝1.

(1) 求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；

(2) 是否存在常數(shù)t，使得Sn＋12t為等比數(shù)列？請說明理由；

(3) 設cn＝1bn＋4，對于任意給定的正整數(shù)k(k≥2)，是否存在正整數(shù)l，m(k<l<m)，使得ck，cl，cm成等差數(shù)列？若存在，求出l，m(用k表示)；若不存在，請說明理由.

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數(shù)學附加題

注意事項：

1. 附加題供選修物理的考生使用．

2. 本試卷共40分，考試時間30分鐘．

3. 答題前，考生務必將自己的學校、班級、姓名寫在密封線內(nèi)．

說明：解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．

21. (本小題滿分10分)選修4?2：矩陣與變換

設旋轉(zhuǎn)變換矩陣A＝0－11 0，若a b1 2?A＝3 4c d，求ad－bc的值．

22. (本小題滿分10分)選修4?4: 坐標系與參數(shù)方程

自極點O作射線與直線ρcos θ＝3相交于點M，在OM上取一點P，使OM?OP＝12，若Q為曲線x＝－1＋22t，y＝2＋22t(t為參數(shù))上一點，求PQ的最小值．

23. (本小題滿分10分)在平面直角坐標系xOy中，曲線C上的動點M(x，y)(x>0)到點F(2，0)的距離減去M到直線x＝－1的距離等于1.

(1) 求曲線C的方程；

(2) 若直線y＝k(x＋2)與曲線C交于A，B兩點，求證：直線FA與直線FB的傾斜角互補．

24. (本小題滿分10分)已知數(shù)列{an}滿足a1＝23，1an－1＝2－an－1an－1－1(n≥2)．

(1) 求數(shù)列{an}的通項公式；

(2 )設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，用數(shù)學歸納法證明：Sn<n＋12－ln.

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數(shù)學參考答案及評分標準

1. {x|0<x<1} 2. －1 3. 36 4. 13 5. 25

6. [0，3] 7. 梯形 8. y2＝12x 9. 3π 10. 21

11. 5214 12. －2 13. 19－122 14. 132

15. (1) 由m∥n及m＝(a，sin C－sin B)，n＝(b＋c，sin A＋sin B)，

得a(sin A＋sin B)－(b＋c)(sin C－sin B)＝0，(2分)

由正弦定理，得aa2R＋b2R－(b＋c)c2R－b2R＝0，

所以a2＋ab－(c2－b2)＝0，得c2＝a2＋b2＋ab，

由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C，

所以a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcos C，

所以ab＝－2abcos C，(5分)

因為ab>0，所以cos C＝－12，

又因為C∈(0，π)，所以C＝2π3.(7分)

(2) 在△ABC中，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C，

所以a2＋b2－2abcos2π3＝9，即(a＋b)2－ab＝9，(9分)

所以ab＝(a＋b)2－9≤a＋b22，所以3（a＋b）24≤9，

即(a＋b)2≤12，所以a＋b≤23，(12分)

又因為a＋b>c，所以6<a＋b＋c≤23＋3，即周長l滿足6<l≤3＋23，

所以△ABC周長的取值范圍是(6，3＋23]．(14分)

16. (1) 因為AB⊥AD，AB⊥BC，且A，B，C，D共面，

所以AD∥BC.(3分)

(第16題)

因為BC?平面PAD，AD?平面PAD，

所以BC∥平面PAD.(5分)

(2) 如圖，過點D作DH⊥PA于點H，

因為△PAD是銳角三角形，所以H與A不重合．(7分)

因為平面PAD⊥平面PAB，平面PAD∩平面PAB＝PA，DH?平面PAD，

所以DH⊥平面PAD.(9分)

因為AB?平面PAB，所以DH⊥AB.(11分)

因為AB⊥AD，AD∩DH＝D，AD，DH?平面PAD，

所以AB⊥平面PAD.

因為AB?平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD.(14分)

17. (1) 由題意得1×1＋x203≥1.6，

因為5x<100－5x，所以x<10且x∈Z.(2分)

因為y＝1＋x203在x∈[1，9]上單調(diào)遞增，

由數(shù)據(jù)知，1.153≈1.521<1.6，1.23＝1.728>1.6，

所以x20≥0.2，得x≥4.(5分)

又x＜10且x∈Z，故x＝4，5，6，7，8，9.

答：至少抽取20戶從事包裝、銷售工作．(7分)

(2) 假設該村戶均純收入能達到1.35萬元，由題意得，不等式1100[5x3－14x＋1＋x20(100－5x)]≥1.35有正整數(shù)解，(8分)

化簡整理得3x2－30x＋70≤0，(10分)

所以－153≤x－5≤153.(11分)

因為3<15<4，且x∈Z，所以－1≤x－5≤1，即4≤x≤6. (13分)

答：至2018年底，該村戶均純收入能達到1萬3千5百元，此時從事包裝、銷售的農(nóng)戶數(shù)為20戶，25戶，30戶．(14分)

18. (1) 由題意得3a2＋14b2＝1，ca＝32，a2＝b2＋c2，得a2＝4，b2＝1，(4分)

故橢圓C的標準方程為x24＋y2＝1.(5分)

(2) 由題意設lAP：y＝k(x＋2)，－12<k<0，所以C(0，2k)，

由y＝k（x＋2），x24＋y2＝1，消去y得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0，所以xAxP＝16k2－41＋4k2，由xA＝－2得xP＝2－8k21＋4k2，故yP＝k(xP＋2)＝4k1＋4k2，

所以P2－8k21＋4k2，4k1＋4k2，(8分)

設D(x0，0)，因為B(0，1)，P，B，D三點共線，所以kBD＝kPB，故1－x0＝4k1＋4k2－12－8k21＋4k2，解得xD＝2（1＋2k）1－2k，

得D2（1＋2k）1－2k，0，(10分)

所以S△PCD＝S△PAD－S△CAD＝12×AD×|yP－yC|＝122（1＋2k）1－2k＋24k1＋4k2－2k＝4|k（1＋2k）|1＋4k2，(12分)

因為－12<k<0，所以S△PCD＝－8k2－4k1＋4k2＝－2＋2×1－2k1＋4k2，令t＝1－2k，1<t<2，所以2k＝1－t，

所以g(t)＝－2＋2t1＋（1－t）2＝－2＋2tt2－2t＋2＝－2＋2t＋2t－2≤－2＋222－2＝2－1，(14分)

當且僅當t＝2時取等號，此時k＝1－22，所以△PCD面積的最大值為2－1.(16分)

19. (1) 由f(x)＝ex－12x2－x，則f′(x)＝ex－x－1，

令g(x)＝f′(x)，則g′(x)＝ex－1，(3分)

當x>0時，g′(x)>0，則f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，

故f′(x)>f′(0)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，(5分)

進而f(x)>f(0)＝1>0，即對任意x>0，都有f(x)>0.(6分)

(2) f′(x)＝ex－ax－a，因為x1，x2為f(x)的兩個極值點，

所以f′（x1）＝0，f′（x2）＝0，即ex1－ax1－a＝0，ex2－ax2－a＝0.

兩式相減，得a＝ex1－ex2x1－x2，(8分)

則所證不等式等價于x1＋x22<lnex1－ex2x1－x2，即ex1＋x22<ex1－ex2x1－x2，(10分)

不妨設x1>x2，兩邊同時除以ex2可得：ex1－x22<ex1－x2－1x1－x2，(12分)

令t＝x1－x2，t>0，所證不等式只需證明：

et2<et－1t?tet2－et＋1<0.(14分)

設φ(t)＝tet2－et＋1，則φ′(t)＝－et2?et2－t2＋1，因為ex≥x＋1，令x＝t2，

可得et2－t2＋1≥0，所以φ′(t)≤0，所以φ(t)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，φ(t)<φ(0)＝0，

所以x1＋x22<ln a．(16分)

20. (1) 因為2a1a3＝a4，所以2a1?a1q2＝a1q3，

所以a1＝q2，所以an＝q2qn－1＝12qn.(2分)

因為2Tn＝n(bn－1)，n∈N*，①

所以2Tn＋1＝(n＋1)(bn＋1－1)，n∈N，②

②－①，得2Tn＋1－2Tn＝(n＋1)bn＋1－nbn－(n＋1)＋n，n∈N*，

所以2bn＋1＝(n＋1)bn＋1－nbn－(n＋1)＋n，

所以(n－1)bn＋1＝nbn＋1，n∈N*，③(4分)

所以nbn＋2＝(n＋1)bn＋1＋1，n∈N，④

④－③得nbn＋2－(n－1)bn＋1＝(n＋1)bn＋1－nbn，n∈N*，

所以nbn＋2＋nbn＝2nbn＋1，n∈N*，所以bn＋2＋bn＝2bn＋1，

所以bn＋2－bn＋1＝bn＋1－bn，所以{bn}為等差數(shù)列．

因為n＝1時b1＝－1，又b2＝1，

所以公差為2，所以bn＝2n－3.(6分)

(2) 由(1)得Sn＝q2（1－qn）1－q，所以Sn＋12t＝q2（1－qn）1－q＋12t＝qn＋t2（q－1）＋q2（1－q）＋12t，

要使得Sn＋12t為等比數(shù)列，則通項必須滿足指數(shù)型函數(shù)，即q2（1－q）＋12t＝0，解得t＝q－1q.(9分)

此時Sn＋1＋12tSn＋12t＝qn＋22（q－1）qn＋12（q－1）＝q，

所以存在t＝q－1q，使得Sn＋12t為等比數(shù)列．(10分)

(3) cn＝1bn＋4＝12n＋1，設對于任意給定的正整數(shù)k(k≥2)，存在正整數(shù)l，m(k<l<m)，使得ck，cl，cm成等差數(shù)列，所以2cl＝ck＋cm，所以22l＋1＝12k＋1＋12m＋1.

所以12m＋1＝22l＋1－12k＋1＝4k－2l＋1（2l＋1）（2k＋1）.

所以m＝2kl－k＋2l4k－2l＋1

＝（－4k＋2l－1）（k＋1）＋（2k＋1）24k－2l＋1

＝－k－1＋（2k＋1）24k－2l＋1.

所以m＋k＋1＝（2k＋1）24k－2l＋1.

因為給定正整數(shù)k(k≥2)，所以4k－2l＋1能整除(2k＋1)2且4k－2l＋1>0，

所以4k－2l＋1＝1或2k＋1或(2k＋1)2.(14分)

若4k－2l＋1＝1，則l＝2k，m＝4k2＋3k，此時m－l＝4k2＋k>0，滿足(k<l<m)；

若4k－2l＋1＝2k＋1，則k＝l，矛盾(舍去)；

若4k－2l＋1＝(2k＋1)2，則l＝2k2，此時m＋k＝0(舍去)．

綜上，任意給定的正整數(shù)k(k≥2)，存在正整數(shù)l＝2k，m＝4k2＋3k，使得ck，cl，cm成等差數(shù)列．(16分)

江蘇省無錫市2019屆高三第一次模擬考試

數(shù)學附加題參考答案及評分標準

21. 因為A＝0－110，所以ab120－110＝34cd，得b＝3，－a＝4，2＝c，－1＝d，(6分)

即a＝－4，b＝3，c＝2，d＝－1，(8分)

所以ad－bc＝(－4)×(－1)－2×3＝－2.(10分)

22. 以極點O為直角坐標原點，以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標系，設P(ρ，θ)，M(ρ′，θ)，

因為OM?OP＝12，所以ρρ′＝12.

因為ρ′cos θ＝3，所以12ρcos θ＝3，即ρ＝4cos θ，

(3分)

化為直角坐標方程為x2＋y2－4x＝0，

即(x－2)2＋y2＝4.(5分)

由x＝－1＋22t，y＝2＋22t(t為參數(shù))得普通方程為x－y＋3＝0，(7分)

所以PQ的最小值為圓上的點到直線距離的最小值，

即PQmin＝d－r＝|2－0＋3|2－2＝522－2.(10分)

23. (1) 由題意得（x－2）2＋y2－|x＋1|＝1，(2分)

即（x－2）2＋y2＝|x＋1|＋1.

因為x>0，所以x＋1>0，

所以（x－2）2＋y2＝x＋2，

兩邊平方，整理得曲線C的方程為y2＝8x.(4分)

設A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立y2＝8x，y＝kx＋2，

得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，所以x1x2＝4.(6分)

由kFA＋kFB＝y(tǒng)1x1－2＋y2x2－2＝k（x1＋2）x1－2＋k（x2＋2）x2－2

＝k（x1＋2）（x2－2）＋k（x1－2）（x2＋2）（x1－2）（x2－2）

＝2k（x1x2－4）（x1－2）（x2－2）.(8分)

將x1x2＝4代入，得kFA＋kFB＝0，

所以直線FA和直線FB的傾斜角互補．(10分)

24. (1) 因為n≥2，由1an－1＝2－an－1an－1－1，

得1an－1＝1－an－1an－1－1＋1an－1－1，

所以1an－1－1an－1－1＝－1，(1分)

所以1an－1是首項為－3，公差為－1的等差數(shù)列，

且1an－1＝－n－2，所以an＝n＋1n＋2.(3分)

(2) 下面用數(shù)學歸納法證明：Sn<n－lnn＋32＋12.

①當n＝1時，左邊＝S1＝a1＝23，右邊＝32－ln 2，

因為e3>16?3ln e>4ln 2?ln 2<34，

32－ln 2>32－34＝34>23，

所以命題成立；(5分)

②假設當n＝k(k≥1，k∈N*)時成立，

即Sk<k－lnk＋32＋12，

則當n＝k＋1，Sk＋1＝Sk＋ak＋1<k－lnk＋32＋12＋k＋2k＋3，

要證Sk＋1<(k＋1)－ln（k＋1）＋32＋12，

只要證k－lnk＋32＋12＋k＋2k＋3<(k＋1)－ln（k＋1）＋32＋12，

只要證lnk＋4k＋3<1k＋3，即證ln1＋1k＋3<1k＋3.(8分)

考查函數(shù)F(x)＝ln(1＋x)－x(x>0)，

因為x>0，所以F′(x)＝11＋x－1＝－x1＋x<0，

所以函數(shù)F(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，

所以F(x)<F(0)＝0，即ln(1＋x)<x，

所以ln1＋1k＋3<1k＋3，也就是說，當n＝k＋1時命題也成立．

綜上所述，Sn<n－lnn＋32＋12.(10分)

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