凹函數(shù)是一個定義在某個向量空間的凸集C（區(qū)間）上的實值函數(shù)f。設(shè)f為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對I上的任意兩點X1<X2和任意的實數(shù)λ∈（0，1），總有f(λx1+(1-λ)x2≥λf(x1)+(1-λ)f(x2), 則f稱為I上的凹函數(shù)。

　　性質(zhì)：

　　如果一個可微函數(shù)f它的導(dǎo)數(shù)f'在某區(qū)間是單調(diào)上升的，也就是二階導(dǎo)數(shù)若存在，則在此區(qū)間，二階導(dǎo)數(shù)是大于零的，f就是凹的；即一個凹函數(shù)擁有一個下跌的斜率（當(dāng)中下跌只是代表非上升而不是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)南碌�，也代表這容許零斜率的存在。）

　　如果一個二次可微的函數(shù)f，它的二階導(dǎo)數(shù)f'(x)是正值（或者說它有一個正值的加速度），那么它的圖像是凹的；如果二階導(dǎo)數(shù)f'(x)是負值，圖像就會是凸的。當(dāng)中如果某點轉(zhuǎn)變了圖像的凹凸性，這就是一個拐點。

　　如果凹函數(shù)（也就是向上開口的）有一個“底”，在底的任意點就是它的極小值。如果凸函數(shù)有一個“頂點”，那么那個頂點就是函數(shù)的極大值。

　　如果f(x)是二次可微的，那么f(x)就是凹的當(dāng)且僅當(dāng)f''(x)是正值。