函數(shù)連續(xù)性的定義：

　　設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,若

　　lim(x→x0)f(x)=f(x0),

　　則稱f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)。

　　若函數(shù)f(x)在區(qū)間I的每一點(diǎn)都連續(xù),則稱f(x)在區(qū)間I上連續(xù)。

　　舉例說(shuō)明：

　　所有多項(xiàng)式函數(shù)都是連續(xù)的。各類初等函數(shù)，如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、平方根函數(shù)與三角函數(shù)在它們的定義域上也是連續(xù)的函數(shù)。

　　絕對(duì)值函數(shù)也是連續(xù)的。

　　定義在非零實(shí)數(shù)上的倒數(shù)函數(shù)f= 1/x是連續(xù)的。但是如果函數(shù)的定義域擴(kuò)張到全體實(shí)數(shù)，那么無(wú)論函數(shù)在零點(diǎn)取任何值，擴(kuò)張后的函數(shù)都不是連續(xù)的。

　　非連續(xù)函數(shù)的一個(gè)例子是分段定義的函數(shù)。例如定義f為：f(x) = 1如果x> 0，f(x) = 0如果x≤ 0。取ε = 1/2，不存在x=0的δ-鄰域使所有f(x)的值在f(0)的ε鄰域內(nèi)。直覺(jué)上我們可以將這種不連續(xù)點(diǎn)看做函數(shù)值的突然跳躍。

　　另一個(gè)不連續(xù)函數(shù)的例子為符號(hào)函數(shù)。