可積一定有界嗎

　　在一元微分學(xué)里面，可微與可導(dǎo)是等價的處于同樣的地位，但是在多元微分學(xué)里面，可微強(qiáng)于可導(dǎo)(可偏導(dǎo));同樣在一元微分學(xué)里面，可微(可導(dǎo))均可推出連續(xù)，但是在多元微分學(xué)里面，可微可推出連續(xù)。

　　可偏導(dǎo)并不能保證連續(xù)，需要偏導(dǎo)有界才能保證連續(xù)性。剩下的有界與可積是相互聯(lián)系的，Riemann可積函數(shù)類的第一個性質(zhì)就是有界，當(dāng)然如果對廣義積分來說有界就不是必要的了。而連續(xù)函數(shù)必Riemann可積，因此連續(xù)強(qiáng)于可積性。

　　總的來說，一元微積分里面，可積<連續(xù)<可微=可導(dǎo)，而可積必有界，對連續(xù)函數(shù)而言，需要在一定條件下才是有界的(如閉區(qū)間上的連續(xù))。多元微積分里面，積分有多種，剩下的連續(xù)、可微、可導(dǎo)滿足：可微必連續(xù)、可導(dǎo);連續(xù)可偏導(dǎo)必可微;偏導(dǎo)有界必連續(xù)。