例如f(x)=x^2*sin(1/x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)等于0，但其導(dǎo)函數(shù)在x=0處的極限不存在。但是在相當(dāng)普遍的情況下，二者又是相等的，這個(gè)事實(shí)的本質(zhì)上就是由導(dǎo)數(shù)極限定理所保證的。

　　導(dǎo)數(shù)極限定理是說(shuō)：如果f(x)在x0的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，在x0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且導(dǎo)函數(shù)在x0處的極限存在（等于a），則f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)也存在并且等于a。

　　這個(gè)定理的重要之處在于，不事先要求f在x0處可導(dǎo)，而根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的極限存在就能推出在該點(diǎn)可導(dǎo)，也就是說(shuō)，導(dǎo)函數(shù)如果在某點(diǎn)極限存在，那么在該點(diǎn)導(dǎo)函數(shù)一定是連續(xù)的，而這正是一般函數(shù)所不具備的性質(zhì)。